线性代数示例

$[\begin{array}{c} 3 e^{t} & e^{2 t} \\ 2 e^{t} & 2 e^{2 t} \end{array}]$

解题步骤 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2

Find the determinant.

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$3 e^{t} (2 e^{2 t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \cdot 2 e^{t} e^{2 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

解题步骤 2.2.1.2

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{2 t}$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1

移动 $e^{2 t}$ 。

$3 \cdot 2 (e^{2 t} e^{t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

解题步骤 2.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 \cdot 2 e^{2 t + t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

解题步骤 2.2.1.2.3

将 $2 t$ 和 $t$ 相加。

$3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

解题步骤 2.2.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

解题步骤 2.2.1.4

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{2 t}$ 。

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解题步骤 2.2.1.4.1

移动 $e^{2 t}$ 。

$6 e^{3 t} - 2 (e^{2 t} e^{t})$

解题步骤 2.2.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t + t}$

解题步骤 2.2.1.4.3

将 $2 t$ 和 $t$ 相加。

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

解题步骤 2.2.2

从 $6 e^{3 t}$ 中减去 $2 e^{3 t}$ 。

$4 e^{3 t}$

解题步骤 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{4 e^{3 t}} [\begin{array}{c} 2 e^{2 t} & - e^{2 t} \\ - 2 e^{t} & 3 e^{t} \end{array}]$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 e^{3 t}} (2 e^{2 t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 6.1

使用乘法的交换性质重写。

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $4 e^{3 t}$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{2 e^{3 t}}$ 和 $e^{2 t}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.4

约去 $e^{2 t}$ 和 $e^{3 t}$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $e^{2 t}$ 中分解出因数 $e^{3 t}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.1

从 $2 e^{3 t}$ 中分解出因数 $e^{3 t}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.4.2.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.4.2.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.5

使用乘法的交换性质重写。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.6

组合 $e^{2 t}$ 和 $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{2 t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.7

约去 $e^{2 t}$ 和 $e^{3 t}$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1

从 $e^{2 t}$ 中分解出因数 $e^{3 t}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.7.2

约去公因数。

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解题步骤 6.7.2.1

从 $4 e^{3 t}$ 中分解出因数 $e^{3 t}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.7.2.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.7.2.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.8

使用乘法的交换性质重写。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.9.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.9.2

从 $4 e^{3 t}$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.9.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.9.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.10

组合 $e^{t}$ 和 $\frac{1}{2 e^{3 t}}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.11

约去 $e^{t}$ 和 $e^{3 t}$ 的公因数。

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解题步骤 6.11.1

从 $e^{t}$ 中分解出因数 $e^{3 t}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.11.2

约去公因数。

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解题步骤 6.11.2.1

从 $2 e^{3 t}$ 中分解出因数 $e^{3 t}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.11.2.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.11.2.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 6.12

使用乘法的交换性质重写。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & 3 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

解题步骤 6.13

组合 $3$ 和 $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

解题步骤 6.14

组合 $\frac{3}{4 e^{3 t}}$ 和 $e^{t}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{t}}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

解题步骤 6.15

约去 $e^{t}$ 和 $e^{3 t}$ 的公因数。

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解题步骤 6.15.1

从 $3 e^{t}$ 中分解出因数 $e^{3 t}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

解题步骤 6.15.2

约去公因数。

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解题步骤 6.15.2.1

从 $4 e^{3 t}$ 中分解出因数 $e^{3 t}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

解题步骤 6.15.2.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

解题步骤 6.15.2.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{- 2 t}}{4} \end{array}]$

线性代数 示例

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